常微分方程

知識(shí)結(jié)構(gòu)：

必備基礎(chǔ)知識(shí)

微分方程

表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程, 叫微分方程. 我們把未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程。常微分方程的一般形式是：

其中為自變量，是未知函數(shù).

★ 微分方程的階

微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù), 叫微分方程的階. 

★ 微分方程的解

在研究實(shí)際問題時(shí)，首先要建立屬于該問題的微分方程，然后找出滿足該微分方程的函數(shù)（即解微分方程），就是說(shuō)，把這個(gè)函數(shù)代入微分方程能使方程稱為恒等式，我們稱這個(gè)函數(shù)為該微分方程的解.

★ 微分方程的特解、通解

微分方程的解可能含有也可能不含有任意常數(shù). 一般地，微分方程的不含有任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解. 含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相等的解稱為微分方程的通解（一般解）.

★ 可分離變量的微分方程概念

設(shè)有一階微分方程,如果其右端函數(shù)能分解成，即有，則稱方程(2.1)為可分離變量的微分方程，其中都是連續(xù)函數(shù).

★ 一階線性微分方程的概念

（1）形如             （1）

的方程稱為一階線性微分方程. 其中函數(shù)、是某一區(qū)間上的連續(xù)函數(shù). （一階是指方程中導(dǎo)數(shù)的最高階是一階，線性是指和的次數(shù)都是一次）

（2）當(dāng)方程（1）成為

        （2）

這個(gè)方程稱為對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程的一階齊次線性方程. 相應(yīng)地，方程（1）稱為一階非齊次線性方程.

★ 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的概念

方程                （**）

稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數(shù). 

★ 二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

如果與是方程(**)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則

就是方程(**)的通解，其中是任意常數(shù).

★ 二階常系數(shù)齊次線性微分方程特征方程（就是把換成，換成，換成得到的方程）

方程r²+pr+q=0叫做微分方程y￠￠+py￠+qy=0的特征方程.

特征方程的兩個(gè)根r₁、r₂可用公式

求出.

★ 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的概念

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程: 方程

                （*）

稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 其中p、q是常數(shù). 

★ 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（非齊次的通解＝齊次的通解＋非齊次的特解）

定理  設(shè)是方程(*)的一個(gè)特解，而是其對(duì)應(yīng)的齊次方程(**)的通解，則

就是二階非齊次線性微分方程(*)的通解.

主要考察知識(shí)點(diǎn)和典型例題：

考點(diǎn)一：可分離變量的微分方程的解法

第一步  分離變量, 將方程寫成g(y)dy =f(x)dx的形式；

第二步  兩端積分:, 設(shè)積分后得G(y)=F(x)+C；

第三步  求出由G(y)=F(x)+C所確定的隱函數(shù)y=F(x)或x=Y(y)

G(y)=F(x)+C , y=F (x)或x=Y(y)都是方程的通解, 其中G(y)=F(x)+C稱為隱式(通)解。

典型例題 求微分方程的通解.

解  

(1)分離變量得

(2)兩端積分得         

(3)從而,記則得到題設(shè)方程的通解 

往年真題：微分方程的通解為______________。

解：分離變量：

兩邊積分：，

所以：

考點(diǎn)二： 一階線性微分方程

1、齊次線性方程的解法

齊次線性方程是變量可分離方程. 分離變量后得

, 

兩邊積分, 得, 

或, 

這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）. 

2、 非齊次線性方程的解法

非齊次線性方程的通解為：

, 

或. 

注：非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和. 

典型例題  求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.

解  將方程標(biāo)準(zhǔn)化為于是

由初始條件得  故所求特解為

往年真題：求的通解

解   于是所求通解為

考點(diǎn)三： 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解

求解步驟

求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y￠￠+py￠+qy=0的通解的步驟為: 

第一步  寫出微分方程的特征方程：r²+pr+q=0

第二步  求出特征方程的兩個(gè)根r₁、r₂. 

第三步  根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況, 寫出微分方程的通解. 

典型例題 求微分方程y￠￠-2y￠-3y=0的通解. 

解 所給微分方程的特征方程為

r²-2r-3=0, 即(r+1)(r-3)=0. 

其根r₁=-1, r₂=3是兩個(gè)不相等的實(shí)根, 因此所求通解為

y=C₁e^-x+C₂e^3x. 

往年真題：求方程的通解.

解 所給微分方程的特征方程為

其根是兩個(gè)不相等的實(shí)根，

因此所求通解為

考點(diǎn)四、 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

——f(x)=P_m(x)e^lx 型

特解得確定方法：

當(dāng)時(shí)，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(8.1)具有形如

          (8.4)

的特解，其中是與同次（次）的多項(xiàng)式，而按是不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

典型例題 求微分方程y￠￠-5y￠+6y=xe^2x的通解. 

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程, 且f(x)是P_m(x)e^lx型(其中P_m(x)=x, l=2). 

（1）與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為：y￠￠-5y￠+6y=0, 

它的特征方程為：r²-5r +6=0. 

特征方程有兩個(gè)實(shí)根r₁=2, r₂=3. 于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

 Y=C₁e^2x+C₂e^3x . 

（2）由于l=2是特征方程的單根, 所以應(yīng)設(shè)方程的特解為

y*=x(b₀x+b₁)e^2x. 

把它代入所給方程, 得

-2b₀x+2b₀-b₁=x. 

比較兩端x同次冪的系數(shù), 得

 , 

由此求得, b₁=-1. 于是求得所給方程的一個(gè)特解為

. 

（3）從而所給方程的通解為

.