多元函數積分學

知識結構：

必備基礎知識

★ 二重積分的定義 

設f(x, y)是有界閉區域D上的有界函數。將閉區域D任意分成n個小閉區域：Ds ₁, Ds ₂, × × × , Ds _n ，其中Ds _i表示第i個小區域, 也表示它的面積. 在每個Ds _i上任取一點(x _i, h_i), 作和：

.   

如果當各小閉區域的直徑中的最大值l趨于零時, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數f(x, y)在閉區域D上的二重積分, 記作, 即

.

f(x, y)被積函數, f(x, y)ds被積表達式, ds面積元素, x, y積分變量, D積分區域, 積分和. 

★ 二重積分的幾何意義

如果f(x, y)30, 被積函數f(x, y)可解釋為曲頂柱體的在點(x, y)處的豎坐標, 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積. 如果f(x, y)是負的, 柱體就在xOy 面的下方, 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積, 但二重積分的值是負的.

★ 二重積分的性質（二重積分與定積分有類似的性質）

性質1 被積函數的常數因子可以提到二重積分號的外面，即

（k為常數）。

性質2 函數的和（或差）的二重積分等于各個函數的二重積分的和（或差）。

。

性質3 如果閉區域D被有限條曲線分為有限個部分閉區域，則在D上的二重積分等于在各部分閉區域上的二重積分的和。例如D分為兩個閉區域D₁與 D₂，則

。

此性質表示二重積分對于積分區域具有可加性。

性質4 如果在D上，f（x，y）= 1，s 為D的面積，則

。

此性質的幾何意義很明顯，因為高為1的平頂柱體的體積在數值上就等于柱體的底面積。

性質5：如果在D上, f (x, y)￡g(x, y), 則有不等式：

特殊地，

性質6設M、m分別是f(x, y)在閉區域D上的最大值和最小值, s為D的面積, 則有：        

.

上述不等式是對二重積分估值的不等式。

性質7（二重積分的中值定理）設函數f(x, y)在閉區域D上連續, s 為D的面積, 則在D上至少存在一點(x, h)使得：. 

★ 積分區域的分類

（1）上下結構：平面圖形由上下兩條曲線y=f_上(x)與y=f_下(x)及左右兩條直線x=a與x=b所圍成

特點：

（1）平面圖形上下是兩條曲線y=f_上(x)和y=f_下(x)，左右是兩條直線x=a與x=b；

（2）作穿過平面圖形且平行于軸的有向直線，進入區域交的是y=f_下(x)，出來區域交的是y=f_上(x)

例：拋物線、所圍成的圖形

解：該平面圖形為上下結構：

上面是曲線：；

下面是曲線：；

左邊是直線：；

右邊是直線：。

（2）左右結構：平面圖形由左右兩條曲線x=j_左(y)與x=j_右(y)及上下兩條直線y=d與y=c所圍成。

特點：

（1）平面圖形左右是兩條曲線x=j_左(y)和x=j_右(y)，上下是兩條直線y=d與y=c；

（2）作穿過平面圖形且平行于軸的有向直線，進入區域交的是x=j_左(y)，出來區域交的是x=j_右(y)。

例：由曲線和直線所圍成的圖形

解：該平面圖形為左右結構：             

左邊是曲線：；

右邊是曲線：；

上面是直線：；

下面是直線：。

主要考察知識點和典型例題：

二重積分是定積分的擴展，是二元函數的積分，具有和定積分相似的定義和性質。從考試的角度看，主要是考查二重積分的計算，考查方法是直接給定一個二重積分，讓我們選擇合適的方法進行計算。

二重積分的計算首先要確定坐標系，即：是在直角坐標系下還是在極坐標系下計算，兩種情況往年都考過，所以都需要大家掌握。

（1）當二重積分的積分區域為圓面、環面、扇面等區域時，考慮用極坐標；當被積函數含有、、也要考慮極坐標。

（2）其余情況一般考慮在直角坐標系下計算。

考點一：利用直角坐標計算二重積分（轉化為二次積分）

1、上下結構區域:   D :  j₁(x)￡y￡j₂(x), a￡x￡b .

（先后）

法則：前看端點，后作平行

（2）左右結構區域:   D :  y₁(y)￡ x￡y₂(y), c￡y￡d

（先后）

法則：前看端點，后作平行

典型例題  計算, 其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的閉區域. 

解: 

方法一. 可把D看成是上下結構區域: 1￡x￡2, 1￡y￡x . 于是

. 

方法二. 也可把D看成是左右結構區域: 1￡y￡2, y￡x￡2 . 于是

. 

【注】:

 (1) 若積分區域既是 上下結構區域又是左右結構區域 , 則有

為計算方便,可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序.

(2) 若積分域較復雜,可將它分成若干上下結構域或左右結構域 , 則

考點二： 利用極坐標計算二重積分（轉化為二次積分）

若積分區域可表示為：

a￡q￡b, j ₁(q)￡r￡j ₂(q),則

＝.

典型例題：計算, 其中D是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區域. 

解  在極坐標系中, 閉區域D可表示為

0￡r￡a , 0￡q ￡2p . 

于是  

. 

往年真題：計算，其中為與的公共部分。                  

解：在極坐標系中, 閉區域D可表示為

0￡q ￡，0￡r ￡ , 

于是