2、中間變量是多元函數(shù)的情形

復(fù)合函數(shù)：、及

鏈?zhǔn)椒▌t如圖示：

典型例題設(shè)，而，，求全導(dǎo)數(shù).

解:

考點四：隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)

（）

典型例題求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解此題在第二章第六節(jié)采用兩邊求導(dǎo)的方法做過,這里我們直接用公式求之.

令則

(，.)——重點

典型例題設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求。

解：設(shè)，

，，

，

＝＋

考點五：二階偏導(dǎo)數(shù)（就是一階偏導(dǎo)數(shù)再求偏導(dǎo)數(shù)）

典型例題設(shè)，求、、、及.

解：

往年真題設(shè)函數(shù)，則等于(B)

A．

B．

C．

D．

解是求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，要求二階偏導(dǎo)，需先求一階偏導(dǎo)。

一階偏導(dǎo)數(shù)對：

二階偏導(dǎo)數(shù)對：

考點六、二元函數(shù)的極值

1、二元函數(shù)的無約束極值

求的極值的一般步驟為：

第一步解方程組

f_x(x,y)=0,f_y(x,y)=0,

求得一切實數(shù)解,即可得一切駐點.

第二步對于每一個駐點(x₀,y₀),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值

A、B和C.

第三步定出AC-B²的符號,按定理2的結(jié)論判定f(x₀,y₀)是否是極值、是極大值還是極小值.

典型例題求函數(shù)的極值.

解先解方程組解方程組

解得駐點為

再求出二階偏導(dǎo)數(shù)

ⅰ在點(1,0)處,故函數(shù)在該點處有極小值

ⅱ在點(1,2)處,處，故函數(shù)在這兩點處沒有極值;

ⅲ在點處，又故函數(shù)在該點處有極大值

2、條件極值拉格朗日乘數(shù)法

要找函數(shù)z=f(x,y)在條件j(x,y)=0下的可能極值點，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)

F(x, y)=f(x, y)+lj(x, y) , 

其中l為某一常數(shù)。然后解方程組：

.

由這方程組解出x,y及l,則其中(x,y)就是所要求的可能的極值點。

典型例題求表面積為a²而體積為最大的長方體的體積.

解設(shè)長方體的三棱的長為x,y,z,則問題就是在條件

2(xy+yz+xz)=a²

下求函數(shù)V=xyz的最大值.

構(gòu)成輔助函數(shù)

F(x,y,z)=xyz+l(2xy+2yz+2xz-a²),

解方程組

,

得,

這是唯一可能的極值點.因為由問題本身可知最大值一定存在,

所以最大值就在這個可能的值點處取得.此時.