多元函數(shù)微分學(xué)知識(shí)點(diǎn)睛

知識(shí)結(jié)構(gòu)：

必備基礎(chǔ)知識(shí)

★偏導(dǎo)數(shù)的概念（增量比值的極限）幾元函數(shù)就由幾個(gè)偏導(dǎo)數(shù)

（1）函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)

=

（2）函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)

=

★全微分的定義如果函數(shù)在點(diǎn)(x，y)的全增量

Dz=f(x+Dx，y+Dy)-f(x，y)

可表示為

，

其中A、B不依賴于Dx、Dy而僅與x、y有關(guān)，則稱函數(shù)在點(diǎn)(x，y)可微分，而稱ADx+BDy為函數(shù)在點(diǎn)(x，y)的全微分，記作，即

=

如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分。

★全微分存在的充分必要條件

（必要條件）：如果函數(shù)在點(diǎn)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、必存在，且函數(shù)在點(diǎn)的全微分為：．

（充分條件）　如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在點(diǎn)可微分．習(xí)慣上，記全微分為：

★二階偏導(dǎo)數(shù)

（1）純偏導(dǎo)

一階偏導(dǎo)對(duì),二階偏導(dǎo)還是對(duì)

一階偏導(dǎo)對(duì),二階偏導(dǎo)還是對(duì)

（2）混合偏導(dǎo)

一階偏導(dǎo)對(duì),二階偏導(dǎo)對(duì)

一階偏導(dǎo)對(duì),二階偏導(dǎo)對(duì)

★二元函數(shù)的極值定義

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x₀,y₀)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x₀,y₀)的點(diǎn)(x,y),都有

f(x,y)<f(x₀,y₀)(或f(x,y)>f(x₀,y₀)),

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x₀,y₀)有極大值(或極小值)f(x₀,y₀).

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。

主要考察知識(shí)點(diǎn)和典型例題：

考點(diǎn)一：偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（對(duì)誰求偏導(dǎo)，誰是變量，其余看成常數(shù)）

根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，偏導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是增量比值的極限，而增量中只有一個(gè)變量發(fā)生了變化，其余的變量不變（不變就是常數(shù)），所以求偏導(dǎo)數(shù)的方法和求導(dǎo)數(shù)的方法是一樣的。

典型例題求在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)．

解:（1）對(duì)求偏導(dǎo)，把為變量，函數(shù)中的看成常數(shù)，則：

（2）對(duì)求偏導(dǎo)，把為變量，函數(shù)中的看成常數(shù)，則：

往年真題設(shè)函數(shù)，則等于(A)

A．

B．

C．

D．

解是對(duì)求偏導(dǎo)，把為變量，函數(shù)中的看成常數(shù)，則：

考點(diǎn)二：全微分計(jì)算（求全微分就是把所有的偏導(dǎo)數(shù)都求出來，乘上相應(yīng)變量的微分后相加）

典型例題設(shè)函數(shù)，則全微分等于_______

解：，，

考點(diǎn)三：復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)——作為一般掌握

（同路相乘，異路相加，同級(jí)不通路）

1、中間變量是一元函數(shù)的情形

復(fù)合函數(shù)：、及

鏈?zhǔn)椒▌t如圖示：

公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)