考點二：旋轉體的體積

旋轉體的體積為：.

注：求旋轉體的體積，關鍵在于確定邊緣曲線，其實就是與旋轉軸相對的那條曲線。

典型例題（1）求曲線、、，所圍成的平面圖形的面積。

解(1)畫圖（可以看成上下結構），

把圖形拆成和。

(2)確定在x軸上的投影區間:[0,1],[1,2].

(3)確定上下曲線:  

：.

：

(4)計算積分

（2）：求（1）中平面圖形繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積。

解：平面圖形繞軸旋轉，其邊緣曲線由兩條，分別為：與。

旋轉體的體積為：。

空間解析幾何

必備基礎知識

★平面的點法式方程

n=(A,B,C),

★平面的一般方程

n=(A,B,C),

★特殊的平面方程（缺誰就平行于誰）

Ax+By+Cz=0：D=0,平面過原點.

By+Cz+D=0：n=(0,B,C),法線向量垂直于x軸,平面平行于x軸.

Ax+Cz+D=0：n=(A,0,C),法線向量垂直于y軸,平面平行于y軸.

Ax+By+D=0：n=(A,B,0),法線向量垂直于z軸,平面平行于z軸.

Cz+D=0：n=(0,0,C),法線向量垂直于x軸和y軸,平面平行于xOy平面.

Ax+D=0：n=(A,0,0),法線向量垂直于y軸和z軸,平面平行于yOz平面.

By+D=0：n=(0,B,0),法線向量垂直于x軸和z軸,平面平行于zOx平面.

★平面的關系

設有兩平面和：

可推出：

（1）的充要條件是；

（2）的充要條件是

（3）重合的充要條件是

★空間直線的一般方程（就是兩個平面方程構成的方程組）

.(1)

★空間直線的對稱式方程（關鍵是找到一個點和一個方向向量）

.    

★直線的關系

設有兩直線：

L₁:,L₂:,

其中，分別是直線，的方向向量，則：

（1）的充要條件是；

（2）的充要條件是

★直線與平面的關系

設有一條直線和一個平面，其方程分別為：

：

：

直線的方向向量s=(m,n,p),平面的法線向量為n=(A,B,C),則：

（1）的充要條件是

（2）的充要條件是

★簡單的二次曲面

主要考察知識點和典型例題：

考點一：求平面的方程

典型例題求通過x軸和點(4,-3,-1)的平面的方程.

解平面通過x軸,一方面表明它的法線向量垂直于x軸, 即A=0;另一方面表明 它必通過原點,即D=0.因此可設這平面的方程為

By+Cz=0.

又因為這平面通過點(4,-3,-1),所以有

-3B-C=0,或C=-3B.

將其代入所設方程并除以B(B10),便得所求的平面方程為

y-3z=0.

往年真題：過原點且與平面平行的平面方程為_______。

解：由于平面通過原點，即D=0。因此可設這平面的方程為：

又因為所求平面與已知平面平行，所以已知平面的法向量n=(2，－1，3)可以作為所求平面的法向量，即：

所以平面方程為：

考點二：求直線方程

典型例題求過點(1,-2,4)且與平面2x-3y+z-4=0垂直的直線方程.

解 平面的法線向量n＝(2,-3,1)可以作為所求直線的方向向量s.由此可得所求直線的方程為.

往年真題：過點（1，－1，0）與直線垂直的平面方程為_____。

解：因為所求的平面與直線垂直，所以，直線的方向向量

s=(1，－2，3)可以看作所求平面的法向量n。

又因為所求平面過點（1，－1，0），所以由平面的點法式方程得：

。