考點三：第一換元法（湊微分法）（積分上下限可保持不變）

定積分的第一換元法和不定積分的第一換元法沒有太大的區別，只要按照步驟仔細計算即可。

（1）直接湊（能在積分基本公式中找到相近的積分公式）

典型例題

解：＝sin2x

＝

（2）間接湊（先湊微分，再湊公式）（被積函數中含有導數關系）——重點

典型例題計算定積分（的導數是）

解：

往年真題＝_____________

解：

典型例題設為連續函數，試證：

證：＝

考點四：第二類換元法（目的是為了去掉被積函數中的根號）

（1）根式換元————需要掌握

特點：被積函數中含一般根式，直接換元，根號是誰就換誰

典型例題求定積分

解令則當時，當時，從而

（2）三角換元————作為了解

特點：被積函數中含根式換元不能去掉根號

結論：三角代換的目的是化掉根式,其一般規律如下:當被積函數中含有

a)可令

b)可令

典型例題求定積分

解令則

由換元積分公式得

【注】（1）由于換元中積分變量發生了變化，所以其對應的積分上下限也會發生變化，定積分的第二換元法需要注意積分上下限的變化；

（2）定積分的計算不需要回代。

考點五：定積分的分部積分法

或.

定積分的分部積分法主要是用來計算兩個函數乘積的定積分，計算過程和不定積分的分部積分沒有什么大的區別，只是要注意積分過程中得到的每一部分都有積分上下限。

典型例題計算

解：

考點六：利用函數的奇偶性計算

利用函數的奇偶性計算定積分是一種特殊的計算定積分的方法，一般常見于填空和選擇題，做題時主要是注意其使用條件和結論。

【注】（1）積分區間必須關于原點對稱；

（2）被積函數必須具有奇偶性。

定理：當在上連續,則

(1)當為偶函數,有;

(2)當為奇函數,有.

典型例題＝（B）。

A．B．C．D．

解：在積分中，積分區間[-1,1]關于原點對稱，被積函數為奇函數，所以＝0。

考點七：無窮區間上的廣義積分——一般性掌握

無窮區間上的廣義積分是積分學中的一種特殊情況，往年考查較少，掌握時主要側重計算簡單函數的廣義積分即可。

解題思路：其定義就是計算方法：先把積分中的無窮換作常數，計算一個定積分，然后令常數（、），取極限即可。

典型例題計算廣義積分

解題思路：先把換成任意常數，計算定積分，然后令，取極限

解：對任意的有

于是

因此

典型例題討論廣義積分的斂散性

解

因此，當時，題設廣義積分收斂，其值為當時，題設廣義積分發散.

【注】這個題目的計算過程不是重點，主要是記住這個結論。