一元函數積分學知識點睛（定積分）

知識結構：

必備基礎知識

★定積分的定義：設在上有界——理解即可

（1）大化小（把大曲邊梯形分為n個小曲邊梯形）：,在中任意插入若干個分點：，

把區間分割成n個小區間,,,

各小區間的長度依次為.

（2）常代變（用小矩形近似的代替每一個小曲邊梯形）：在每個小區間上任取一點作函數值與小區間長度的乘積,

（3）近似和（n個小矩形的面積之和近似的等于大曲邊梯形的面積）：作和式

（4）取極限（無限細分，得到大曲邊梯形的面積）：記如果不論對怎樣的分法,也不論在小區間上點怎樣取法,只要當時,和總趨于確定的極限I,我們就稱這個極限I為函數在區間上的定積分,記為

，

其中叫做被積函數,叫做被積表達式,x叫做積分變量,叫做積分區間.

★定積分的幾何意義：——理解即可

在區間[a,b]上,當f(x)30時,積分在幾何上表示由曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積;當f(x)￡0時,由曲線y=f(x)、兩條直線x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方,定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值;

★定積分的性質——紅色部分要掌握

兩點規定:

(1)當a=b時,.

(2)當a>b時,.

性質1函數的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即

.

性質2被積函數的常數因子可以提到積分號外面即：.

性質 3  如果將積分區間分成兩部分 則在整個區間上的定積分等于這兩部分區間上定積分之和 即：.

性質4如果在區間[ab]上f(x)o1則：.

性質5如果在區間[a, b]上f(x)30,則：(a<b).

推論1如果在區間[a, b]上f(x)￡g(x)則：(a<b).

推論2(a<b).

性質6設M及m分別是函數f(x)在區間[a, b]上的最大值及最小值,則

(a<b).

性質7(定積分中值定理)如果函數f(x)在閉區間[a, b]上連續,則在積分區間[a, b]上至少存在一個點,使下式成立:.

★積分上限函數

設函數f(x)在區間[a,b]上連續,并且設x為[a,b]上的一點. 我們把函數f(x)在部分區間[a,x]上的定積分稱為積分上限的函數.它是區間[a,b]上的函數,記為：F(x),或F(x)=.

積分上限函數的導數

定理如果函數f(x)在區間[a,b]上連續,則函數F(x)在[a,b]上具有導數,并且它的導數為：

F￠(x)(a￡x<b).

★牛頓--萊布尼茨公式

定理如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間[a,b]上的一個原函數,則

.

此公式稱為牛頓--萊布尼茨公式,也稱為微積分基本公式.

★無窮區間上的廣義積分的概念

（1）函數在無窮區間[a,+￥)上的廣義積分的定義：

.

在廣義積分的定義式中,如果極限存在,則稱此廣義積分收斂;  否則稱此廣義積分發散.

（2）函數在無窮區間(-￥,b]上的廣義積分的定義：

（3）函數在無窮區間(-￥,+￥)上的廣義積分的定義：

主要考察知識點和典型例題：

考點一：變上限積分求導

變上限積分主要考查它的求導性質，考試時遇到變上限積分的問題都要進行求導，主要的考查題型是：直接給一個變限積分，進行求導；定積分求導；含有變限積分的極限問題。

典型例題求.

解根據變上限積分的求導公式，變上限積分求導就等于被積函數：

典型例題

解：解此題需要注意，不是積分上限函數，而是常數，所以＝0。

典型例題求.(分析:這是型不定式,應用洛必達法則.)

解

故

考點二：利用萊布尼茲公式直接計算

根據牛—萊公式，計算定積分就是計算不定積分，區別在于不定積分加常數C,定積分加積分區間，定積分的計算方法和不定積分的計算方法沒有什么區別，只需要注意積分限的變化。

典型例題

解由于arctanx是的一個原函數,所以