一元函數積分學知識點睛（不定積分）

知識結構：

必備基礎知識

★ 原函數是定義不定積分的基礎概念，要理解原函數的概念，搞清楚原函數和導數的關系。F ￠(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 

那么函數F(x) 就稱為f(x) (或f(x)dx) 在區間I上的一個原函數.  

★ 掌握不定積分的概念，理解不定積分就是所有的原函數，求不定積分就是求所有的原函數。即：

. 

★ 理解微分和積分的關系    ，   

★ 熟練掌握基本積分表，尤其注意第二和第三個公式，往年的試題中有直接考查積分公式的題目。

(1)(k是常數),           (2), 

(3),                 (4), 

(5),                 (6), 

(7),              (8), 

(9),    (10), 

(11),          (12), 

(13),         

★ 掌握不定積分的性質

性質1  函數的和的不定積分等各個函數的不定積分的和, 即

. 

性質2  求不定積分時, 被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來, 即:        (k是常數, k 10). 

★ 分部積分法原則

分部積分法實質上就是求兩函數乘積的導數(或微分)的逆運算.

★ 的確定原則

從上面例子可以看出，的確定是進行分部積分的關鍵，一般情況下有以下法則：

反對冪三指，前為后為；

與結合變為

主要考察知識點和典型例題：

考點一：原函數和不定積分概念題

近年主要考查：已知一個函數的原函數求函數或其導數；基本積分公式等內容。

典型例題 已知是的一個原函數，則＝__________。

解：∵ 是的一個原函數，即：

∴

典型例題：       

考點二：不定積分的直接積分法：就是利用不定積分的基本性質和基本積分表來計算簡單函數的不定積分。

要求：在熟練掌握不定積分的性質和基本積分表的基礎上，靈活運用各種方法解決簡單函數的不定積分問題。

典型例題：____________________。

解：

往年真題：(  B   )

A．  

B．  

C．  

D．

解：，故選B。

考點三：換元積分法

換元法是算不定積分的一種非常重要的方法，包括第一和第二兩種換元方法，其中第一換元法是考察的重點。

1、第一換元法（湊微分法）（重點）

第一換元法是計包括直接湊和間接湊兩種方法。

（1）、直接湊

要求不定積分，首先考慮能否用公式，即能否直接用公式，基本公式中沒有相同的，就找相近的公式如果有相近的，就用直接湊。

特點：能在積分基本公式中找到相近的積分公式

典型例題：求不定積分（和比較接近）

解：

往年真題：計算（湊公式）

解：

【注】 積分公式的特點是三個一致，即被積函數、積分變量和積分結果中都是，是一致的，而所求積分中被積函數和積分變量往往是不一致的，所以做題時要湊成一致的。

（2）、間接湊

間接湊就是不定積分本身在積分公式中找不上相同或相近的，但是通過湊微分，變形，可以湊成形式上和公式相同的，從而利用性質和公式來解決問題的方法。其本質就是先湊微分，再湊公式。

特點：被積函數中含有導數關系。

典型例題：（的導數是）

解：

.

往年真題：計算

解：

2、第二類換元法

第二換元法的主要目的是為了去掉被積函數中的根號，常用的方法有根式換元和三角換元。

（1）、根式換元（重點）

特點：被積函數中含一般根式，直接換元，根號是誰就換誰。

典型例題： 求.  （含有根號，基本公式中沒有相同或相近的）

解 設, 即（根號被去掉）, 則

.  

（2）、三角換元（方法較難，一般不考，主要作為了解）

特點：被積函數中含 根式換元不能去掉根號。

結論：三角代換的目的是化掉根式, 其一般規律如下: 當被積函數中含有

a)   可令

b)  可令

典型例題： 求(a>0). 

解: 設x=a sin t , , 那么, 

dx =a cos t d t , 于是

. 

因為, , 所以

. 

考點四：分部積分法

分布積分法主要用來求解函數乘積的不定積分，當被積函數是兩個函數的乘積，而又沒有導數關系時，考慮分部積分法。

典型例題：計算不定積分

解  令

典型例題：

. 

【注】 （1）有時用一次分部積分不能得到最后結果，需要用多次。

（2）有時通過兩次分部積分后產生循環式, 從而解出所求積分.

（3）有時被積函數只是一個函數，也可以用分部積分。

考點五：簡單有理函數（先分項，再積分）

求真分式的不定積分時, 如果分母可因式分解, 則先因式分解, 然后化成部分分式再積分.

典型例題  計算 .

解 先分項：∵ 

∴ 設 ，

即：

∴

∴

再積分：