考點(diǎn)三：函數(shù)的極值——重點(diǎn)

函數(shù)的極值包括極大值和極小值，是一個(gè)局部概念，一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)極大值和極小值。求函數(shù)的極值有兩種方法：第一充分條件—— 一階導(dǎo)數(shù)法和第二充分條件—— 二階導(dǎo)數(shù)法。主要考查：求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值。

1、第一充分條件—— 一階導(dǎo)數(shù)法步驟

(1) 確定函數(shù)的定義域;

(2) 求可能的極值點(diǎn)：求其導(dǎo)數(shù)，解方程求出的全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn);

(3) 討論在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左、右兩側(cè)鄰近符號(hào)變化的情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn);

(4) 求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，就得到函數(shù)的全部極值.

典型例題：求出函數(shù)的極值.

解 

（1）

（2）,令得駐點(diǎn)

（3）列表討論如下：

（4）所以, 極大值極小值

【注】

（1）函數(shù)可能的極值點(diǎn)為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（或不存在的點(diǎn)）。

（2）一階導(dǎo)數(shù)法求極值就是利用單調(diào)性來判別極值，其步驟和判別單調(diào)性相似。

2、第二種充分條件——二階導(dǎo)數(shù)法

第二充分條件其實(shí)就是利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，可利用函數(shù)的凸凹性記憶。

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處具有二階導(dǎo)數(shù)且f ￠(x₀)=0, f ￠￠(x₀)10, 那么

(1) 當(dāng)f ￠￠(x₀)<0時(shí), 函數(shù)f(x)在x₀處取得極大值; 

(2) 當(dāng)f ￠￠(x₀)>0時(shí), 函數(shù)f(x)在x₀處取得極小值; 

典型例題：求出函數(shù)的極值.

解  

令得駐點(diǎn)

又故極大值

故極小值

【注】時(shí), 在點(diǎn) 處不一定取極值, 仍用第一充分條件進(jìn)行判斷.

 函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn), 也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).

考點(diǎn)四：函數(shù)的最大值和最小值（重點(diǎn)）

函數(shù)的最值是常考的知識(shí)點(diǎn)，主要包括：函數(shù)在給定閉區(qū)間上最大值和最小值的求法、實(shí)際問題中的最值問題。

1、函數(shù)在給定閉區(qū)間上最大值和最小值的求法: 

計(jì)算函數(shù)在一切可能極值點(diǎn)的函數(shù)值，并將它們與相比較，這些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；

（函數(shù)的最大值在極值點(diǎn)和端點(diǎn)取得）

典型例題：求在上的最大值與最小值.

解    解方程得

計(jì)算 

比較得最大值 最小值

2、實(shí)際問題中的最值問題

典型例題：設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)為，在他們所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段為下底做內(nèi)接等腰梯形，設(shè)梯形的上底長為，面積為。

a)寫出的表達(dá)式；

b)求的最大值。

解：

（1）先求交點(diǎn)，由，解得，所以交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，所以：

（2），得到或（舍去）；

由所給問題得實(shí)際意義知： 時(shí)，達(dá)到最大，最大值。

考點(diǎn)五：曲線的凹凸性的判別（凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)）

確定曲線y=f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟: 

(1) 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)；

(2) 令，解出全部實(shí)根，并求出所有使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；

(3) 對(duì)步驟(2)中求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查其鄰近左、右兩側(cè)的符號(hào)，確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

典型例題：求曲線y=3x ⁴-4x ³+1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間. 

解: 

(1)函數(shù)y=3x ⁴-4x ³+1的定義域?yàn)?-￥, +￥); 

(2),; 

(3)解方程y￠￠=0, 得, ; 

(4)列表判斷: 

在區(qū)間(-￥, 0]和[2/3, +￥)上曲線是凹的, 在區(qū)間[0, 2/3]上曲線是凸的. 點(diǎn)(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點(diǎn). 

往年真題：曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)為_______。

解：，，

令y￠￠=0, 得.

因?yàn)楫?dāng)時(shí), y￠￠>0; 當(dāng)時(shí), y￠￠<0, 所以點(diǎn)(0,－1)是曲線的拐點(diǎn).

考點(diǎn)六：求曲線的漸近線（作為了解即可）

在某個(gè)變化過程中曲線逐漸靠近擔(dān)永遠(yuǎn)不可能達(dá)到的那條直線。

1、水平漸近線：

若 ，則直線為水平漸近線

例：

鉛直漸近線：（其實(shí)就是分母為零而分子不為零的點(diǎn)）

若 ，則直線為鉛直漸近線

例、求 漸近線

解：∵        ∴ 為水平漸近線

∵        ∴ 垂直漸近線。（時(shí)分母為零而分子不為零）

例  求函數(shù)的漸近線.

解   得水平漸近線

 得鉛直漸近線（時(shí)分母為零而分子不為零）