知識結構：

必備基礎知識

★型與型未定式

型:      

型：     

★ 函數的單調性的判別定理

設函數在[a, b]上連續, 在(a, b)內可導.

(1) 若在(a, b)內, 則函數在[a, b]上單調增加;

(2) 若在(a, b)內, 則函數在[a, b]上單調減少.

★ 極值定義  

設函數f(x)在區間(a, b)內有定義, x₀?(a, b). 如果在x₀的某一去心鄰域內有f(x)<f(x₀), 則稱f(x₀)是函數 f(x)的一個極大值; 如果在x₀的某一去心鄰域內有f(x)>f(x₀), 則稱f(x₀)是函數f(x)的一個極小值.

函數的極大值與極小值統稱為函數的極值, 使函數取得極值的點稱為極值點. 

★ 最值定義  

設函數f(x)在區間上有定義，對，如果在恒有f(x)<f(x₀), 則稱f(x₀)是函數 f(x)的一個最大值; 如果在在恒有f(x)>f(x₀), 則稱f(x₀)是函數f(x)的一個最小值.

★ 凹凸性的定義

設f(x)在區間I上連續, 如果對I上任意兩點x ₁, x ₂, 恒有

, 

那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有

, 

那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 

主要考察知識點和典型例題：

考點一：運用洛必達法則求極限：

洛必達法則是一種求極限的非常有效的方法，主要用來求解或的未定式的極限，以及可以轉化為或的未定式0×￥ 、￥-￥的極限。近年考察較為簡單，主要是考查：直接用洛必達法則或的未定式的極限。

要求：

（1）拿到一個極限題首先就要代入，看是不是未定式，是那種類型的未定式。

（2）如果是未定式，則可以考慮洛必達法則

典型例題：求

解  

往年真題：求 .

解  

【注】

（1）有時一次洛必達法則不能得到極限值，而是得到一個未定式，則可以用多次。

（2）對于型，可利用通分化為型的未定式來計算.

（3）對于型，可將乘積化為除的形式，即化為或型的未定式來計算.

（4）洛必達法則可以和其他求極限方法，尤其是等價代換，混合在一起來用。

典型例題： 求

解  當時, 故

考點二：函數單調性的判別（單調區間和駐點）

函數的單調性是一種非常重要的特性，利用導數判別單調性是一種快捷有效的手段，本部分內容主要考查：求函數的單調區間以及函數的駐點、利用單調性證明不等式。

1、求函數的單調區間以及函數的駐點

步驟：

（1）確定函數的定義域；

（2）求單調增加和單調減少的可能的分界點：導數為零的點（駐點）和導數不存在的點，即：的點和不存在的點。

（3）利用上述點去劃分定義域，然后在每一個小區間上驗證一階導數的符號，從而確定函數的單調性。

要求：

（1）理解單調性、單調區間和駐點的概念；

（2）掌握判別單調性的方法——一階導數法。

典型例題：確定函數的單調區間.

解  

（1）

（2）

ⅰ: 駐點；ⅱ不存在的點，沒有。

（3）

函數在上單調增加；上單調減少；在上單調增加；單調區間為

往年真題：函數的單調增加區間是____________.

解  因為：，要想使單調增加，需使:

>0，即：，所以函數的單調增加區間是

【注】（1）可能的分界點包括駐點和不可導點。  

2、利用單調性證明不等式

思路：見到不等式的證明題，一般就是和單調性有關，其關鍵是構造一個函數，證明其在某個區間上單調增或單調減即可。

典型例題：當時， 試證成立.

證  設則

在上連續，且在內可導，  在上單調增加，

 當時，即證畢.